ඊළඟ පදය

අප නොදුටු ගණිතයේ සුන්දර තැන් බොහොමයි.. මම අද කියන්නේ ඒ වගේ පුංචි සුන්දර කතාවක්.. 

අපි පුංචි කාලේ ඉගෙන ගත්ත එක ගණිත පාඩමක් තමයි සංඛ්‍යා රටා කියන්නේ.. මේ තියෙන්නේ ඒ කාලේ අපිට දැකල හුරු පුරුදු ප්‍රශ්නයක්..

2, 4, 6, ___

මොකද්ද මේකට පිළිතුර? බොහොම පහසුවෙන් කියන්නේ පුළුවන් 8 කියලා.. එත් මම කිව්වොත් 10 කියල. ටිකක් විශ්වාස කරන්න අමාරුයි.. එත් පුදුමය කියන්නේ මේ සංඛ්‍යා රටාවේ ඊළඟ පදය 8, 10 පමණක් නෙමේ.. ඕනෙම සංඛ්‍යාවක් වෙන්න පුළුවන්.. 

සංඛ්‍යා ලැයිස්තුවක මුල් පද කුමන පරිමිත ප්‍රමාණයකින් වුවද සංඛ්‍යා ලැයිස්තුවේ ඊළඟ පදය අනන්‍යව නිර්ණය නොවන නිසා ඊළඟ පදය ඔබ කැමති ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් වන පරිදි ලියන්න පුළුවන්.. 

ඉහත සංඛ්‍යා රටාවේ ඊළඟ පදය 10 වන පරිදි බහු පදයක් හොයන විදිය දැන් බලමු.

2, 4, 6, __  කියන සංඛ්‍යා රටාවේ ඊළඟ පදය 8 කියල අපිට නිගමනය කරන්න පුළුවන් වුනේ එම රටාව නිරූපණය කරන බහු පදය '2n' බව උපකල්පනය කරපු නිසා.. නමුත් වෙනත් f(x) නම් බහු පදයක මුල් පද තුන 2, 4, 6 විය නොහැකිද? එම බහු පදයේ සිව්වන පදය 8 නොව වෙනත් සංඛ්‍යාවක් විය හැකිද? ඇත්තෙන්ම ඔව්.. අපි පහත සඳහන් බහුපදය සලකා බලමු.. 

මෙහි n = 1 විට පළමු පදය,

මෙහි n = 2 විට දෙවන පදය,

මෙහි n = 3 විට තුන්වන පදය,

මෙහි n = 4 විට සිව්වන පදය,

දැන් ඔබට මුල් පද තුන 2, 4, 6 සහ සිව්වන පදය 10 වන බහුපදය ලැබී අවසන්.. මේ ආකාරයට වූ බහුපද විශාල ප්‍රමාණයක් ලියන්න පුළුවන්.. මේ ඉන් එකක්.. දැන් අපි බලමු මේ බහුපදය ඉතා පහසුවෙන් ගොඩ නගා ගන්නා එක් ආකාරයක්.. 

f(n) = 2n + g(n) බහුපදය සලකමු.. මෙහි මුල් පද තුන 2n  මගින් ලැබෙන නිසා n = 1,2,3 විට g(n) ශුන්‍ය අගයක් ගත යුතුයි.. එබැවින් (n-1)(n-2)(n-3),  g(n) හි සාධක විය යුතුයි.. 

එවිට f(n) = 2n + c(n-1)(n-2)(n-3) නම් වූ බහුපදයෙහි මුල් පද තුන 2, 4, 6 බව තේරුම් ගැනීම ඉතා පහසුයි.. මින් පසු ඔබට අවශ්‍ය ඊළඟ පදය ලබා ගැනීමට කල යුත්තේ ඊට අදාල c නියතය සොයා ගැනීම පමණි. එය f(n) සඳහා ඔබට අවශ්‍ය ඊළඟ පදයද, n  සඳහා 4 ආදේශයෙන්ද පහසුවෙන් සොයා ගත හැකියි.. සිව්වන පදය 10 වීම සඳහා අවශ්‍ය c  අගය 1/3 බව ඉහත ආදේශයෙන් සොයා ගත හැකියි..

දැන් අපි බහුපදය සොයා අවසන්..

තවදුරටත් සුළු කිරීමෙන් පළමුව භාවිතා කල බහුපදය ලබාගැනීමට පුළුවන්.. 

මේ අනුව බලන කල ඕනෑම පරිමිත සංඛ්‍යා රටාවක ඊළඟ පදය ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් විය හැකි බවත් එම සංඛ්‍යා රටාව සපුරාලන බහුපද විශාල ප්‍රමාණයක් ඇති බවත් මේ මගින් පැහැදිලි වෙනවා..

ඉතින් පුංචි කාලේ දෙන මේ වගේ සංඛ්‍යා රටාවකට ලබා දෙන ඕනෑම පිළිතුරක් නිවැරදි බව මේ විදියට ගණිතයෙන් ඔප්පු කරන්නත් පුළුවන්.. 

අවසන් වශයෙන් මෙවැනි ගණිතයේ ඇති සුන්දර දෑ ඉතා සරල බසින් ග්‍රන්තාරූඩ කරමින් ගණිතයේ ලස්සන මා හට අවබෝධ කරගැනීමට ඉවහල්වූ ආචාර්ය ඩබ්ලිව්. රාමසිංහ ගුරු පියාණන්ට මගේ හද බැති ප්‍රණාමය පුද කරමි.. 

එතුමා විසින් රචිත කෘති කිහිපයක්:

• බින්දුවේ සිට අනන්තය දක්වා බිඳක් 
• සංඛ්‍යාවක් පරිමේය වීමේ සම්භාවිතාව
• ඊළඟ පදය 
• අනන්තය සමග හෝරා දෙකක්